ПРОГРАМА вступних іспитів до аспірантури ІФКС НАН України зі спеціальності 01.04.02 – теоретична фізика

I. Механіка

Узагальнені координати. Рівняння руху. Принцип найменшої дії. Функція Лагранжа матеріальної точки і системи матеріальних точок. Закони збереження енергії, імпульсу, моменту імпульсу.

Рух у центрально-симетричному полі. Теорема про віріал. Задача Кеплера. Пружне зіткнення частинок. Формула Резерфорда. Розпад частинок.

Вільні і вимушені коливання. Коливання систем з багатьма ступенями вільності. Загасаючі коливання. Вимушені коливання при наявності тертя. Ангармонічні коливання. Резонанс у нелінійних коливаннях. Параметричний резонанс.

Задача динаміки системи з в'язями. Принцип Даламбера і рівняння Лагранжа.

Рух в неінерційній системі відліку. Сили Коріоліса. Рівняння руху твердого тіла. Тензор інерції. Рівняння Ейлера.

Рівняння Гамільтона, вивід з варіаційного принципу. Канонічні перетворення. Дужки Пуассона як канонічні інваріанти. Фазовий простір і теорема Ліувілля. Рівняння Гамільтона-Якобі. Адіабатичні інваріанти. Змінні "дія-кут". Умовно-періодичний рух. Рівняння Лагранжа для неперервних систем.

1. Ландау, Ліфшиц. Механіка, 1973.

2. Голдстейн. Классическая механика, 1957.

3. Ольховский. Курс теоретической механики для физиков, 1974.

II. Електродинаміка

Електричне поле нерухомих зарядів. Закон Кулона. Енергія взаємодії електричних зарядів. Дипольний момент. Мультиполі. Електричне поле при наявності діелектриків. Вектор електричної індукції. Діелектрична проникливість.

Постійний струм і магнітне поле. Магнітне поле струмів. Сила Лоренца. Вектор-потенціал магнітного поля. Енергія магнітного поля. Магнітний момент. Вектор магнітної індукції. Магнітна проникливість.

Змінне електромагнітне поле. Закон електромагнітної індукції. Струми зміщення. Рівняння Максвелла для електромагнітного поля. Потік електромагнітної енергії. Плоскі хвилі. Градієнтна інваріантність. Запізнюючі потенціали. Випромінювання електромагнітних хвиль.

Принцип відносності Ейнштейна. Постійність швидкості світла. Перетворення Лоренца. Власний час. Релятивістський закон додавання швидкостей. Релятивістські рівняння руху. Чотиривимірні вектори. Принцип еквівалентності. Рівняння поля Ейнштейна.

Коваріантність рівнянь електродинаміки. Чотиривимірний потенціал електромагнітного поля. Тензор електромагнітного поля. Перетворення Лоренца для полі та інваріанти поля. Чотиривимірна форма рівнянь Максвелла. Тензор енергії-імпульсу.

Релятивістські рівняння руху заряду в електромагнітному полі. Лагранжіан і гамільтоніан релятивістської зарядженої частинки в електромагнітному полі.

III. Квантова механіка

Основні поняття. Принцип суперпозиції. Оператори фізичних величин. Власні функції і власні значення. Визначення стану квантової системи. Матриця густини. Співвідношення невизначеності.

Зміна квантових станів з часом. Рівняння Шредінгера. Стаціонарні стани. Квазікласичне наближення. Проходження частинки через потенційний бар'єр.

Теорія представлень. Представлення векторів стану і операторів. Унітарні перетворення. Представлення Шредінгера, Гайзенберга і представлення взаємодії.

Частинка у прямокутній потенційній ямі. Гармонійний осцилятор. Рух у центрально-симетричному полі. Оператор моменту кількості руху. Векторне додавання двох моментів.

Теорія збурень без виродження. Умови застосування теорії збурень. Теорія переходів під впливом зовнішнього збурення. Ймовірність переходу з одного стану в інший. Основи теорії взаємодії квантової системи з електромагнітним випромінюванням. Мультипольне випромінювання. Час життя збуджених станів. Елементарна теорія дисперсії.

Квантова теорія розсіяння. Розсіяння безспінової частинки в центральному полі. Розвинення за парціальними хвилями. Амплітуда розсіяння. Рівняння Ліппмана-Шредінгера. Борнівське наближення. Матриця розсіяння та її властивості. Оптична теорема. Обертання часу та умова взаємності. Аналітичні властивості матриці розсіяння. Симетрія і розміщення особливостей матриці розсіяння в комплексній площині k. Квазістаціонарні стани і резонанси. Аналітичні властивості матриці розсіяння у площині комплексних моментів. Полюси Редже.

Рівняння Клейна-Гордона. Релятивістське рівняння Дірака. Спінори. Релятивістські поправки до руху електрона в електромагнітному полі. Рівняння Паулі. Спін-орбітальна взаємодія. Атом водню з врахуванням спіну електрона. Класифікація станів атома водню. Ефект Зеємана. Ефект Штарка.

Принцип тотожності частинок. Хвильові функції систем тотожніх частинок. Принцип Паулі. Схеми Юнга. Метод самоузгодженого поля Хартрі-Фока. Основний і збуджений стани атома гелію. Періодична система елементів. Спектральні і рентгенівські терми. Електронні конфігурації.

Теорія хімічного зв'язку. Адіабатичне наближення. Молекула водню. Обмінна енергія. Коливні та обертальні ступені вільності. Класифікація станів молекули.

Основи квантової теорії твердого тіла. Електрон у періодичному полі. Наближення слабого і сильного зв'язку. Основні поняття зонної теорії. Ефективна маса електрона. Малі коливання атомів у твердих тілах. Фонони. Теплоємність твердих тіл за Дебаєм. Феромагнетизм. Спінові хвилі. Екситонні збудження в молекулярних кристалах. Поняття про надпровідність та плинність.

Метод вторинного квантування. Представлення чисел заповнення. Елементарні збудження. Квантування вільного електромагнітного поля. Вторинне квантування систем Бозе та Фермі-частинок.

Принципи квантування полів. Принцип відповідності і теорема Нетер для квантових полів. Вакуумний стан та амплітуда станів із заданим числом частинок. Переставні співвідношення Фермі-Дірака і Бозе-Ейнштейна. Нормальний добуток операторів.

Квантування скалярного, векторного та електромагнітного полів. Комутаційні співвідношення. в координатному та імпульсному просторах. Запис динамічних змінних у вигляді нормальних добутків операторів. Зарядове спряження. Проблеми з квантуванням електромагнітного поля та індефінітна метрика.

Функції Гріна вільних полів. Хронологічний добуток операторів поля. Запізнююча, випереджаюча та причинна функції Гріна. Теорема Віка для нормальних і хронологічних добутків.

Основні поняття теорії взаємодіючих полів. S-матриця. Умови релятивістської коваріантності, унітарності і причинності для S-матриці. S-матриця і діаграми Фейнмана.

1. Давыдов А.С. Квантовая механика. – М.: Наука, 1973.

2. Блохинцев. Основы квантовой механики, 1961.

3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика, 1963.

4. Ситенко. Лекции по теории рассеяния, 1971.

5. Боголюбов, Ширков. Введение в теорию квантовых полей, 1973.

IV. Термодинаміка і статистична фізика

Стан термодинамічної рівноваги. Термодинамічні величини. Температура. Тиск. Робота і кількість тепла. Перший і другий закони термодинаміки. Термодинамічні потенціали. Зв'язок між похідними термодинамічних величин. Оборотні і необоротні процеси. Адіабатичний процес. Максимальна робота. Теорема Нернста-Планка. Термодинамічна рівновага в зовнішньому полі.

Рівновага фаз. Правило фаз Гібса. Критична точка. Фазові переходи 1-го і 2-го роду.

Основні принципи статистики. Теорема Ліувілля. Статистичний розподіл у класичній і квантовій статистиці. Закон зростання ентропії. Мікроканонічний, канонічний і великий канонічний ансамблі. Статистична сума. Вільна енергія. Вивід основних термодинамічних співвідношень.

Ідеальний газ. Термодинаміка ідеальних газів. Розподіли Больцмана, Фермі і Бозе. Рівняння стану ідеального газу. Вироджений електронний газ. Вироджений Бозе-газ. Статистика рівноважного випромінювання.

Неідеальні гази. Розвинення за густиною. Рівняння Ван-дер-Ваальса. Груповий розклад. Віріальний розклад. Наближення Дебая-Хюккеля для плазми.

Флуктуації. Флуктуації основних термодинамічних величин. Флуктуації в ідеальних газах. Просторові і часові кореляції флуктуацій. Флуктуаційно-дисипативна теорема.

S-частинкові функції розподілу в рівноважному стані. Представлення термодинамічних величин через s-частинкові функції розподілу. Ланцюжок рівнянь Боголюбова.

Нерівноважні процеси. Рівняння Больцмана. Н-теорема. Рівняння гідродинаміки. Релаксація до рівноважного стану.

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика, 1964.

2. Куни. Статистическая физика и термодинамика, 1981.

3. Хуанг. Статистическая механика, 1966.

4. Кобилянський В.Б. Статистична фізика. – К., 1971.

5. Балеску. Равновесная и неравновесная статистическая механика, т. 1, 2, 1978.

6. Зубарев. Неравновесная статистическая термодинамика, 1971.