Методи статистичної фізики та комп'ютерного моделювання

Метод колективних змінних. Львівська школа статистичної фізики широко відома в науковому світі насамперед через розробку методу колективних змінних для опису колективних ефектів у системах взаємодіючих частинок. Надзвичайно продуктивною була ідея виділення системи відліку шляхом усереднення функції переходу до колективних змінних за короткосяжними взаємодіями. Запропонований підхід був застосований до опису іонно-дипольних систем, що стало початком побудови мікроскопічної теорії розчинів електролітів, що базується на рівноправному врахуванні всіх можливих взаємодій між іонами електроліту та молекулами розчинника.

Модифікація методу колективних змінних для його застосування до опису квантових систем взаємодіючих частинок є відома в науковій літе­ратурі як метод зміщень і колективних змінних. Основна ідея методу полягає у виділенні зі статистичного оператора частини, що характеризує взаємодію квантових хвильових пакетів частинок. Запропонований підхід виявився надзвичайно корисним для опису систем взаємодіючих бозе- та фермі-частинок.

Метод теоретичного опису фазових переходів. На основі методу колективних змінних запропоновано метод теоретичного опису фазових переходів та пов'язаних із ними критичних явищ для цілої низки задач статистичної фізики. В основі цього методу знаходиться запропонований І.Р.Юхновським оригінальний спосіб розрахунку статистичної суми тривимірної моделі Ізинга, що базується на ідеї про існування у фазовому просторі колективних змінних, середні значення яких пов'язані з параметром порядку. Саме це відкрило шлях до побудови на мікроскопічному рівні послідовної теорії фазових переходів, зокрема для таких об'єктів, як магнітні та сегнетоелектричні системи, окіл критичної точки рідина-газ, фазові переходи типу розшарування тощо. Побудовано узагальнення для великого канонічного розподілу.

Запропоновано метод розрахунку вільної енергії поблизу точки фазового переходу другого роду при наявності в системі зовнішнього поля. Вивчено вплив такого поля на поведінку фізичних характеристик системи (сприйнятливість, теплоємність, параметр порядку тощо) поблизу температури фазового переходу, досліджена їхня залежність від мікроскопічних параметрів. Сформульовано метод розрахунку критичних показників «звичайного» та «спеціального» фазових переходів у масивній теорії поля для тривимірних напівобмежених систем. Показано, що невпорядкованість поверхні не впливає на перебіг спеціального переходу, в той час як об’ємний безлад змінює критичні показники звичайного переходу. На основі оригінального підходу розраховано критичні показники точки Ліфшиця із довільною кількістю осей анізотропії; зроблено висновок, що показник анізотропії є некласичним.

Багатогустинний формалізм. У рамках концепції асоціації у статистичній теорії рідкого стану розвинуто багатогустинний формалізм, який дозволив поширити методи теорії простих рідин на складні рідини. В такій схемі потенціали міжмолекулярної взаємодії розбиваються на три частини: короткосяжне відштовхування, що визначає структуру простих рідин; далекосяжні взаємодії, що мають електростатичну природу і визначають енергетичні властивості рідин; короткосяжні сильно притягальні взаємодії, відповідальні за утворення різноманітних асоціативних комплексів та кластерів. Теорія базується на діаграмній техніці та поєднанні розвинень за активністю і густиною для кореляційних функцій, що використовуються для опису, відповідно, асоціативних та неасоціативних взаємодій.

Аналітичний підхід в теорії динамічного середнього поля в теорії сильноскорельованих електронних систем – матеріалів та сполук, для яких непридатним є одноелектронний підхід – розвинено оригінальні підходи сильного зв’язку, що використовують техніку вузлових операторів та діаграмні розклади для функцій Ґріна. В рамках теорії динамічного середнього поля розроблено нову аналітичну схему, яка базується, з однієї сторони, на апараті допоміжного фермі-поля та методиці різночасових розщеплень, а з другої – на підході твірного функціоналу. На цій основі для моделей класу моделі Габбарда побудовано низку аналітичних наближень (в т. ч. узагальнення наближення Габбард - III), в рамках яких досліджено термодинаміку та особливості електронного спектру в області переходів метал-діелектрик та переходів із зміною валентності.

Розроблено загальний підхід до отримання спектральних співвідношень для багато­часових кореляційних функцій, у якому особлива увага звертається на розгляд неергодичних внесків. Отримано представлення багаточасових функцій Ґріна через спектральні густини і розв'язано обернену задачу. З використанням цих спектральних співвідношень отримано загальні вирази, які пов'язують переріз непружнього (комбінаційного) розсіяння електромагнітних хвиль із багаточасовими функціями Ґріна і враховують усі внески – як нерезонансні, так і резонансні та змішані.

Метод узагальнених колективних мод. Запропоновано підхід узагальнених колектив­них мод у рамках статистичної гідродинаміки простих та багатокомпонентних рідин для дослідження колективної поведінки і узагальнених коефіцієнтів переносу. В рамках цього підходу часові кореляційні функції представляються у вигляді внесків із різними ваговими коефіцієнтами від власних динамічних мод системи, що описують релаксаційні та пропагаторні процеси в рідині. Побудовано теорію негідродинамічних колективних збуджень у простих та багатокомпонентних рідинах, що дозволило вперше послідовно описати такі колективні процеси, як структурна релаксація, теплові хвилі та оптичні збудження фононного типу.

На основі ідей М.М.Боголюбова про скорочений опис нерівноважних процесів та методу нерівноважного статистичного оператора розвинуто методику узгодженого опису кінетичних та гідродинамічних процесів для густих газів, плазми та рідин. Запропоновано формулювання нерівноважної термопольової динаміки для квантово-польових систем. Запропоновано та реалізовано синтез методу нерівноважного статистичного оператора Зубарєва та методу функцій Ґріна для квантових просторово-неоднорідних електронних систем та показано зв’язок із часо-залежними теоріями функціоналу густини і функціоналу потоку густини.

Запропоновано метод розрахунку електронної структури перехідних та рідкісно­земельних металів на основі формалізму повністю ортогоналізованих плоских хвиль. У рамках такого підходу першопринципні псевдопотенціали представляються як лінійне перетворення вихідного кристалічного потенціалу на повному та ортонормованому наборі базисних функцій. Завдяки усуненню поблеми переповненості базисного набору ортогоналізованих плоских хвиль вдалось отримати першопринципні ПОПХ-псевдопотенціали, позбавлені недоліків, що характерні для більшості апріорних псевдопотенціалів.

Нові числові методи. В області розвитку нових числових методів у рамках підходу факторизації операторів еволюції проведена повна класифікація і послідовне виведення усіх явних декомпозиційних алгоритмів із кількістю експоненційних операторів до 11 включно. У результаті, додатково до 8 відомих раніше алгоритмів, знайдено 37 нових схем із точністю за часовим кроком від 2 до 6 порядків. Роглянуто застосування виведених алгоритмів для інтегрування рівнянь руху у класичних та квантових багаточастинкових системах. Показано, що ефективність деяких нових алгоритмів може бути на два порядки вищою у порівнянні з такими добре відомими інтеграторами як Верле, Фореста-Рутха, Сузукі, Лі тощо.

Розроблено алгоритми інтегрування рівнянь руху полімерниих рідкокристалічних систем у методі молекулярної динаміки. Зокрема, узагальнено методи з використанням термостату та баростату в ансамблі з постійним тиском (компонентами тензора напружень) та температурою для системи сферичних та анізометричних частинок. Це дозволило ефективно описати внутрішню структуру та внутрімолекулярну динаміку низки складних полімерних рідких кристалів, зокрема гребінчастих та дендритних систем. Використовуючи такий підхід вдалося описати основні механізми експериментально спостережуваного явища фотоіндукованих деформацій в азобензинових плівках, що спричинені процесом фотоізомеризації.